* 틀린 내용이 있다면 알려주세요! 개인 공부 목적으로 전공 복습/예습을 위해 쓰는 글이라 틀린 부분이 있을 수 있습니다. 틀린 내용을 알려주시면 제게도 도움이 됩니다 :)
* 해외 대학을 재학 중이기 때문에 영어 사용이 조금 많을 수 있지만 최대한 한국어로 번역하려 노력중입니다.
* 효율적인 타이핑을 위해 "~이다" 의 문체를 사용합니다. 양해 부탁드립니다!
이번 글은 지난번 소개했던 PN 접합에 사용되는 공식들과 그 내용들을 설명하려고 합니다.
만약 지난 글을 읽지 않으셨다면 아래에 링크를 걸어두었으니 살펴보고 오시는 것을 추천합니다.
https://wlqdprkffo.tistory.com/10
Physical electronics: PN 접합 반도체 1.1 (P-N Junction)
* 틀린 내용이 있다면 알려주세요! 개인 공부 목적으로 전공 복습/예습을 위해 쓰는 글이라 틀린 부분이 있을 수 있습니다. 틀린 내용을 알려주시면 제게도 도움이 됩니다 :)* 해외 대학을 재학
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P-N 접합 1.2 (P-N Junction)
반도체에 사용되는 PN 접합에는 여러 매개 변수 (parameter) 들이 있는데, 이를 계산하는 법을 알아보자.
아래의 그림을 참고하면, PN 접합이 이루어지고 있는 구간을 공간전하영역 (Space Charge Region, SCR) 으로 부르는데, 이 구간은 공핍 영역 (Depletion region) 으로 불리기도 한다.
그리고 그 바깥으로는 Quasi-neutral region, QNR 이 존재한다.
이 공간전하영역 SCR 의 길이는 W (width) 로 표기하고, 이 구간에 걸린 전압인 접촉전위차 (Contact potential) 를 Vo 으로 부른다.
또한 SCR 구간의 전기장 (Electric field) 은 E, SCR 구간의 N-side 와 P-side 로의 침투력 (Penetration) 은 각각 xp, xn 으로 나타낸다. (아래의 정리해둔 노트를 참고)
*SCR 구간의 전하들은 움직일 수 없는 상태이다 (stationary)*
이제 pn 접합의 대표적인 매개 변수들을 알았으니 각각의 계산법을 공식을 통해 알아보자.
전기장 Electric Field (E)
먼저, SCR 구역에서의 전기장 E 공식은 아래와 같다.
위의 공식에서 입실론 (epsilon) ε 는 물체의 유전율 (permitivity) 을 표현하는 데 사용된다.
유전율은 물질의 분극이 얼마나 잘 이루어지는지의 정도, 즉 물질의 - 극과 + 극이 얼마나 잘 분리되어지는지를 알려준다.
SCR 구역에서 N-side 에 포함된 부분 (y 축을 중심으로 xn 구간까지의 구역) 의 식은 Nd+ 를 포함하고 있고,
SCR 구역에서 P-side 에 포함된 부분 (y 축을 중심으로 xp 구간까지의 구역) 의 식은 Na- 를 포함하고 있다.
이 Nd+ 와 Na- 는 각각 전자의 농도, 그리고 홀의 농도를 뜻한다.
홀과 전자의 농도 Nd+, Na-
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개인적으로 전자와 홀의 농도 기호가 헷갈렸었는데, 이유는 전자 e- 는 (-) 성질을 띄고 있는데 전자의 농도를 표현할 때 Nd+, (+)기호가 들어가 있어 두 농도를 반대로 적는 실수를 종종 했다.
혹시 같은 실수를 하지 않도록 이유를 설명하면, 화학 시간에 배웠을 이온화 (ionization) 의 개념을 생각하면 된다.
자연 상태에서의 물질들은 대부분 중성 상태 (neutral) 로 존재하는데, N-type 의 물질은 전자를 p-type 물질에게 공급해주기 때문에 donor, 공여체 로 불리고, 그렇게 전자를 잃음으로써 중성 상태가 더 이상 아니게 된다.
(-) 성질을 띄는 전자 e- 를 잃었으므로 (+) 성질을 띄는 양성자 (proton) 들의 갯수가 상대적으로 많게 되어 공여체는 + 성질을 띄는 상태가 되는 것이다.
접촉전위차 Contact Potential (Vo)
다시 돌아와서, 이제는 매개변수 중 하나인 접촉전위차 (Contact potential) Vo 의 공식에 대해 알아보자.
각각의 p 와 n 구역의 접촉전위차는 위의 공식을 이용하여 얻을 수 있는데, 위에서 언급하였듯 입실론 (epsilon) ε 는 물체의 유전율 (permitivity) 을 나타내고, K 는 볼츠만 상수 (Boltzmann constant) 8.62 x 10^-5 eV/K 이다.
ni 는 물질의 진성 캐리어 농도 (intrinsic carrier concentration) 를 뜻한다.
예시로 Si 의 진성 캐리어 농도는 1.5 x 10^10 cm^-3 이다.
침투력 Penetration (xn, xp) & SCR 구간의 길이 W
마지막으로 침투력 (Penetration) 이 있다. N-type 으로의 침투력은 xn, 그리고 P-type 으로의 침투력은 xp 로 표현한다.
보라색 상자 안의 공식들이 각각의 침투력과 SCR 구간의 길이 W 를 계산할때 사용된다.
사실 위의 공식을 유도하는 긴 과정이 있지만, 유도 과정은 생략하고 완성된 공식만 적어두었다.
이제 여러 공식들을 알게 되었으니 사용해 연습 문제를 풀어보자.
Example:
An abrupt Si p-n junction has Na = 10^18 cm^-3 on one side and Nd = 5 x 10^15 cm^-3 on the other.
a) Calculate the Fermi level positions at 300K in the p and n regions.
b) Draw an equilibrium band diagram for the junction and determine the contact potential Vo from the diagram.
c) Compare the results of part b) with Vo as calculated from using the equation.
d) Find xn and xp. Assume the junction has a circular cross-section with a diameter of 10µm.
e) Find Q+ and E for the junction. Sketch E and the charge density to scale.
a) 첫번째 문제는 온도가 300K 일때 각각 p 와 n 구역에서 페르미 준위의 위치를 계산하는 것이다.
위의 공식 Quasi Fermi Level 공식을 페르미 준위와 p 구간의 에너지 갭 차이 (Eip - Ef) 으로 풀어보면, 아래와 같이 식으로 정리할 수 있다.
(Eip - Ef) = KT ln ( Na/ni)
이 식에 문제에서 주어진 값인 온도 T = 300K, Na = 10^18, 그리고 실리콘의 진성 캐리어 농도 1.5 x 10^10 cm^-3 를 넣어 계산했다. n-side 또한 같은 방법으로 계산한다.
b) 두번째 문제는 계산한 페르미 준위의 위치와 Ep, En 을 나타내는 Band diagram 그림을 그리고 band diagram 을 이용해 접촉전위차를 구했다.
Band diagram 은 위와 같이 나타난다. pn 접합이 이루어지면 평형상태에서 페르미 준위는 n 과 p 구역 모두 동일하고 접합 구간에서 접촉전위차가 나타난다. 접촉전위차 Vo 는 N 과 P-side 의 에너지, En 그리고 Ep 를 더한 값과 동일하다.
하지만 Vo 의 단위는 볼트 (voltage) 이므로 전하값 q 를 곱해준다.
qVo = Eip + Ein = 0.466 + 0.329 = 0.795 eV
c) 세번째 문제는 접촉전위차를 앞서 언급했던 공식을 이용해 구하는 것이다.
아래의 접촉전위차 공식을 이용해 값을 구해주면 문제 b) 에서 구하였던 값과 같은 것을 알 수 있다.
Vo = (KT/q) ln (Nd*Na/ni^2) = 0.7947325 eV
d) 네번째 문제는 pn 접합부의 단면이 원형이고 그 지름이 10 µm 이라 가정한 후 침투력 xp, xn 을 찾는 것이다.
먼저 단면의 넓이부터 찾아준다.
원의 넓이 공식은 πr^2 이므로 지름을 반으로 나누어 반지름을 찾아 공식에 넣으면 넓이는:
A = πr^2 = π((10 µ)/2)^2 = 7.85 x 10^-7 cm^2
그리고 SCR 구간의 길이 W 도 공식을 이용해 찾아준다.
위의 예시에서는 W 를 구한 후 xp 와 xn 공식에 그것을 대입해 문제를 풀었지만, 침투력 공식 (Penetration Formula) 에 나온대로 xp 와 xn 공식을 그대로 사용해 주어진 값들을 대입해 풀어도 된다.
주의 할 점은 ε (입실론) 은 유전율로, 물질의 유전율을 구하려면 그 물질이 있는 공간이 진공인지 아닌지도 알아야 한다.
문제에서는 진공 상태를 가정해 진공 상태의 유전율 상수인:
εo (vacuum permitivity) = 8.85 x 10^-14 F/cm
을 이용해 실리콘의 유전율 εsi = 11.8 과 곱해주어 전체 유전율 = ( εo*εsi ) 을 찾아내었다.
e) 마지막 문제는 전하 Q+ 와 접합의 전기장 E 를 찾는 것이다.
총전하량 Q+ 는 공식 Q+ = qAxnNd = qAxpNa 를 이용해 구해주었다.
단면 넓이 A 는 d) 문제에서 계산했던 값을 사용한다.
A = πr^2 = π((10 µ)/2)^2 = 7.85 x 10^-7 cm^2
그리고 접합부위의 전기장 Eo 는 위의 공식 (p-side 혹은 n-side 공식 모두 같은 값이 나온다) 을 이용해 계산했다.
앞서 구해주었던 xp = 0.00227µm 와 xn = 0.455µm 부분에 주의하여 전기장을 그래프로 나타낸 것이 아래와 같다.
이렇게 여러 공식들을 이용해 pn 접합된 반도체의 매개변수들을 찾아보았는데,
다음 글은 이번에 그렸던 에너지 밴드 그래프 (Energy Band Diagram) 에 대해 더 자세히 알아보고 그것이 왜 pn 접합 부위에서 휘어지는지, 그리고 전자 친화도 (electron affinity) 와 푸아송 방정식 (Poisson's Equation) 에 대해 소개하도록 하겠습니다.
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